Réponse :
Explications étape par étape
Bon, je reprends avec toi, en supposant que tu as bien vu que
On a donc
Mais matrice Identité, élément neutre de la multiplication. Il nous reste
C'est pareil pour A au cube :
2e)
2f
Après calculs, tu vas constater que Un tend vers 2000 quand n tend vers l'infini
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Réponse :
Explications étape par étape
Bon, je reprends avec toi, en supposant que tu as bien vu que
On a donc
Mais
matrice Identité, élément neutre de la multiplication. Il nous reste 
C'est pareil pour A au cube :
2e)![A^n = P D^n P^{-1} = \left[\begin{array}{ccc}1&2\\1&1\end{array}\right] \left[\begin{array}{ccc}1&0\\0& \frac 1 {2^n}\end{array}\right] \left[\begin{array}{ccc}-1&2\\1&-1\end{array}\right] \\A^n = \left[\begin{array}{ccc}1&2\\1&1\end{array}\right] \left[\begin{array}{ccc}-1&2\\\frac 1 {2^n}&-\frac 1 {2^n}\end{array}\right] \\A^n = \left[\begin{array}{ccc} -1+\frac 2 {2^n} & 2-\frac 2 {2^n} \\ -1+\frac 1 {2^n} & 2-\frac 1 {2^n} \end{array}\right]](https://tex.z-dn.net/?f=A%5En+%3D+P+D%5En+P%5E%7B-1%7D+%3D+%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccc%7D1%262%5C%5C1%261%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D+%C2%A0%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccc%7D1%260%5C%5C0%26+%5Cfrac+1+%7B2%5En%7D%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D+%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccc%7D-1%262%5C%5C1%26-1%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D+%5C%5CA%5En+%3D+%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccc%7D1%262%5C%5C1%261%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D+%C2%A0+%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccc%7D-1%262%5C%5C%5Cfrac+1+%7B2%5En%7D%26-%5Cfrac+1+%7B2%5En%7D%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D+%5C%5CA%5En+%3D+%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccc%7D+%C2%A0-1%2B%5Cfrac+2+%7B2%5En%7D+%C2%A0%26+%C2%A0+2-%5Cfrac+2+%7B2%5En%7D+%C2%A0+%C2%A0%5C%5C+%C2%A0-1%2B%5Cfrac+1+%7B2%5En%7D+%C2%A0%26+%C2%A0+2-%5Cfrac+1+%7B2%5En%7D+%C2%A0+%C2%A0+%C2%A0+%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D "A^n = P D^n P^{-1} = \left[\begin{array}{ccc}1&2\\1&1\end{array}\right] \left[\begin{array}{ccc}1&0\\0& \frac 1 {2^n}\end{array}\right] \left[\begin{array}{ccc}-1&2\\1&-1\end{array}\right] \\A^n = \left[\begin{array}{ccc}1&2\\1&1\end{array}\right] \left[\begin{array}{ccc}-1&2\\\frac 1 {2^n}&-\frac 1 {2^n}\end{array}\right] \\A^n = \left[\begin{array}{ccc} -1+\frac 2 {2^n} & 2-\frac 2 {2^n} \\ -1+\frac 1 {2^n} & 2-\frac 1 {2^n} \end{array}\right]")
2f![Un = \left[\begin{array}{ccc}P_n\\P_{n+1}\end{array}\right] = A^n U_0= A^n \left[\begin{array}{ccc}4000\\6000\end{array}\right]](https://tex.z-dn.net/?f=Un+%3D+%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccc%7DP_n%5C%5CP_%7Bn%2B1%7D%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D+%3D+A%5En+U_0%3D+A%5En+%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccc%7D4000%5C%5C6000%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D "Un = \left[\begin{array}{ccc}P_n\\P_{n+1}\end{array}\right] = A^n U_0= A^n \left[\begin{array}{ccc}4000\\6000\end{array}\right]")
Après calculs, tu vas constater que Un tend vers 2000 quand n tend vers l'infini