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Bonjour,

"poursuivre une chimère" = poursuivre un rêve tout en sachant qu'il ne se réalisera pas.

La chimère dans la mythologie était un monstre avec une tête de lion, une queue de dragon et un corps de chèvre qui symbolisait un fléau. Il 'y a pas de  rapport avec l'expression utilisée aujourd'hui sauf peut-être : poursuivre un rêve qui n'existera jamais en réalité et la chimère de la mythologie, qui n'existe pas non plus sauf dans les contes..