P(x) = 10x³ - 37x² - 13x + 4

1)

P(-1/2) = 10(-1/8) - 37(1/4) + 13/2 + 4

             = - 5/4 - 37/4 + 26/4 +16/4              (-5 - 37 + 26 + 16 = 0)

            = 0

P(-1/2) est égal à 0, cela signifie que -1/2 est une racine de ce polynôme.

2)

factorisation de P(x)

(x + 1/2)(ax² + bx + c) = 10x³ - 37x² - 13x + 4

on développe le premier membre  

ax³ + bx² + cx + (1/2)ax² + (1/2)b x + (1/2)c = 10x³ - 37x² - 13x + 4

ax³ + [b +( 1/2)a]x²+ [c + 1/2)b]x + (1/2)c = 10x³ - 37x² - 13x + 4

on identifie les coefficients des termes de même degré

a = 10

b +( 1/2)a = -37 (1)

c + (1/2)b = -13

(1/2)c = 4

a = 10       c = 8

b+ 5 = - 37 je calcule b dans (1)

b = - 42  

P(x) = (x + 1/2)(10x² - 42x + 8)

3)

racines de P

on calcule les racines de 10x² - 42x + 8

Δ = 42² - 4*10*8 = 1444 = 38²

x1 = (42 + 38)/20 = 4    x2 = (42 - 38)/20 = 1/5

Le polynôme P a 3 racines :  -1/2 ; 4 et 1/5

4)

réponse 4