Bonjour ;

1.

Si n = 1 ;

on a : 2n - 1 = 1 ;

donc : S1 = √1 = 1 .

Si n = 2 ;

on a : 2n - 1 = 3 ;

donc : S2 = √(1 + 3) = √4 = 2 .

Si n = 3 ;

on a : 2n - 1 = 5 ;

donc : S3 = √(1 + 3 + 5) = √9 = 3 .

2.

On remarque que : S1 = 1 ; S2 = 2 et S3 = 3 ;

donc on peut conjecturer que pour tout nombre entier

naturel non nul , on a : Sn = n .

3.

On va procéder par récurrence .

Initialisation :

On a déjà montré que pour n = 1 ; on a : S1 = 1 .

Hérédité :

Soit n un nombre entier naturel non nul .

Supposons qu'on a : Sn = n et calculons : S(n + 1) .

Tout d'abord on a : S²(n + 1) = 1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) + (2n + 1)

= S²n + 2n + 1 = n² + 2n + 1 = (n + 1)² ;

donc : S(n + 1) = n + 1 .

Conclusion :

Pour tout nombre entier naturel non nul , on a : Sn = n .