2. Lorsqu'une fonction du second degré a deux solutions x1 et x2 en 0, alors sa forme factorisée est : a(x-x1)(x-x2) Donc : f(x) = 0 ⇒ -2(x-3)²+8 = 0 ⇒ -2(x-3)² = -8 ⇒ (x-3)² = 4 ⇒ x-3 = 2 ou x-3 = -2 ⇒ x = 5 ou x = 1 Donc x1 = 5 et x2 = 1 Ici, a = -2. Donc f(x) = -2(x-5)(x-1)
3. a) a = -2, donc a est strictement négatif. Donc f est croissante jusqu'à la valeur de x où se situe son extremum, puis f est décroissante. b) L'extremum β d'une fonction d'une fonction du second degré est atteint en α, tel que : α = -b/2a β = f(α) Ici, a = -2 et b = 12 Donc α = -12/(2(-2)) = -12/(-4) = 3 Donc β = f(3) = -2(3-5)(3-1) = -2(-2)(2) = 4(2) = 8 Donc l'extremum de la fonction f est 8. c) Le sommet de la parabole a pour coordonnées (α;β), donc (3;8).
4. On sait que f(x) = 0 ⇒ x = 1 ou x = 5. De plus, on sait que la fonction f est croissante, puis décroissante. Donc la fonction f est positive entre ses racines, et est donc négative aux extrémités de ses racines. Donc : f est strictement positive sur ]1;5[ f est strictement négative sur ]-∞;1[∪]5;+∞[ f est nulle en 1 et en 5
5. f(x) = -10 ⇒ -2(x-3)²+8 = -10 ⇒ (x-3)²-4 = 5 ⇒ (x-3)²-9 = 0 ⇒ (x-3)²-3² = 0 ⇒ ((x-3)-3)((x-3)+3) = 0 ⇒ x(x-6) = 0 ⇒ x = 0 ou x-6 = 0 ⇒ x = 0 ou x = 6
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Bonsoir,1. f(x) = -2(x-3)²+8 = -2(x²-6x+9)+8 = -2x²+12x-18+8 = -2x²+12x-10
2. Lorsqu'une fonction du second degré a deux solutions x1 et x2 en 0, alors sa forme factorisée est :
a(x-x1)(x-x2)
Donc :
f(x) = 0 ⇒ -2(x-3)²+8 = 0 ⇒ -2(x-3)² = -8 ⇒ (x-3)² = 4 ⇒ x-3 = 2 ou x-3 = -2 ⇒ x = 5 ou x = 1
Donc x1 = 5 et x2 = 1
Ici, a = -2.
Donc f(x) = -2(x-5)(x-1)
3. a) a = -2, donc a est strictement négatif.
Donc f est croissante jusqu'à la valeur de x où se situe son extremum, puis f est décroissante.
b) L'extremum β d'une fonction d'une fonction du second degré est atteint en α, tel que :
α = -b/2a
β = f(α)
Ici, a = -2 et b = 12
Donc α = -12/(2(-2)) = -12/(-4) = 3
Donc β = f(3) = -2(3-5)(3-1) = -2(-2)(2) = 4(2) = 8
Donc l'extremum de la fonction f est 8.
c) Le sommet de la parabole a pour coordonnées (α;β), donc (3;8).
4. On sait que f(x) = 0 ⇒ x = 1 ou x = 5.
De plus, on sait que la fonction f est croissante, puis décroissante.
Donc la fonction f est positive entre ses racines, et est donc négative aux extrémités de ses racines.
Donc :
f est strictement positive sur ]1;5[
f est strictement négative sur ]-∞;1[∪]5;+∞[
f est nulle en 1 et en 5
5. f(x) = -10 ⇒ -2(x-3)²+8 = -10 ⇒ (x-3)²-4 = 5 ⇒ (x-3)²-9 = 0 ⇒ (x-3)²-3² = 0 ⇒ ((x-3)-3)((x-3)+3) = 0 ⇒ x(x-6) = 0 ⇒ x = 0 ou x-6 = 0 ⇒ x = 0 ou x = 6