Réponse :

Bonjour

Explications étape par étape

Exercice 1

a) En tant que fonction polynôme,la fonction f est dérivable sur R

   f'(x) =2x-2

b) L'équation de la tangente au point d'abscisse a est de la forme

y = f'(a)(x-a) + f(a)

f'(2) = 2×2-2 = 2 et f(2) = 2²-2×2+5 = 5

Donc l'équation de la tangente au point d'abscisse 2 est :

y = 2(x-2) +5 = 2x-4+5 = 2x+1

c) f(x) -(2x+1) = x²-2x+5-2x-1 = x² -4x +4 = (x-2)²

Un carré est toujours positif, donc f(x)-(2x+1) est positif

d) Comme la différence f(x)-(2x+1) est positive, on peut en conclure que la courbe Cf est toujours au dessus de cette tangente

Exercice 2

a) Soit la fonction f(x) = 1/x

f'(x) = -1/x²

f'(3/2) = -4/9 et f(3/2) =2/3

L'équation de la tangente sera donc : y = -4/9(x-3/2) +2/3

y = -4/9x +12/18 +2/3 ⇔ y = -4/9x + 4/3

b)Si la tangente était parallèle à l'axe des abscisses,son équation serait du type y=c(avec c réel).Si la tangente était parallèle à l'axe des ordonnées,son équation serait du type x=d(avec d réel).Elle est donc sécante en un point à chacun des 2 axes

Calculons les coordonnées des points d'intersection

Pour l'axe des ordonnées y=-4/9×0 +4/3 =4/3

Donc B(0;4/3)

Pour l'axe des abscisses

-4/9x+4/3 = 0 ⇔ -4/9x = -4/3 ⇔ x = 4/3×9/4 = 3

Donc C(3;0)

c) Les coordonnées du point A sont (3/2 ; 2/3)

Calculons les coordonnées du milieu de [BC]

abscisse = (0+3)/2 = 3/2

 ordonnée = (0+4/3)/2 = 2/3

Les coordonnées du milieu de [BC] sont les mêmes que celles du point A.Le point A est donc bien le milieu de [BC]