Réponse :

Partie A

u fonction polynôme de degré 2 définie sur R par

         u(x) = 2 x² - 16 x + 64

1) montrer que, pour tout réel x ,  u(x) = 2(x - 4)² + 32

u(x) = 2 x² - 16 x + 64

       = 2(x² - 8 x + 32)

       = 2(x² - 8 x + 32 + 16 - 16)

       = 2(x² - 8 x + 16  + 16)

       = 2((x - 4)² + 16)

       = 2(x - 4)² + 32

2) établir le tableau de variation de u

        x     - ∞                              4                              + ∞

      u(x)   + ∞ →→→→→→→→→→→→ 32 →→→→→→→→→→→→ + ∞

                        décroissante             croissante

Partie B

1) a) exprimer AC en fonction de x

    AB + AC = 8   ⇔ x + AC = 8  ⇔ AC = 8 - x

  b) en déduire que x  ∈ [0 ; 8]

       AC = 8 - x

pour x = 0 ⇒ AC = 8

pour x = 8 ⇒ AC = 0

donc  x  ∈ [0 ; 8]

2) déterminer en fonction de x le périmètre f(x) du triangle ABC

      P = AB+AC+BC

     BC² = AB² + AC² = x² + (8 - x)² = x² + 64 - 16 x + x² = 2 x² - 16 x + 64  

 BC = √(2 x² - 16 x + 64)

donc  f(x) = 8 + √(2 x² - 16 x + 64)

3) établir le tableau de variation de f sur [0 ; 8].  on admettra que pour

u(x) ≥ 0  les fonctions u et √u ont les mêmes variations

   f(x) = 8 + √u(x)

      x      0                          4                            9

     u(x)   f(0)→→→→→→→→→ 32 →→→→→→→→→→→ f(9)

                    décroissante        croissante    

Explications étape par étape :