Réponse :

1) soit un entier a tel que a² est pair montrer que a est pair

     montrer  (n² pair  ⇒ n est pair) ⇔ (n impair ⇒ n² impair) c'est la contraposée

soit a : impair ⇒ a = 2 k + 1  avec k entier

                      ⇒ a² = (2 k + 1)² = 4 a² + 4 a + 1 = 2(2 k² + 2 k) + 1

                          a² = 2 k' + 1    avec  k' = 2 k² + 2 k ;   k' entier

   donc  a² est impair

puisque c'est la même  donc : a² pair ⇒ a pair

2) les trois côtés d'un triangle rectangle sont des nombres entiers, montrer qu'au moins un de ces nombres est pair

 a, b , c  entiers , on suppose b et c impair  et a pair  et a > b et c

d'après le th.Pythagore on peut écrire  a² = b² + c²

b impair ⇒ b = 2 k + 1   k entier

c impair ⇒ c = 2 k' + 1   k' entier

a² = (2 k + 1)² + (2 k' + 1)²

   = 4 k² + 4 k + 1 + 4 k'² + 4 k' + 1

   = 2 (2k² + 2 k'² + 2 k + 2 k' + 1)    posons  k" = (2k² + 2 k'² + 2 k + 2 k' + 1)  

                                                                                     k" entier

a² = 2 k"   puisque a² est pair ⇒ donc a est pair , donc au moins un côté est pair

Explications étape par étape