Réponse :

1) démontrer que la somme de deux nombres impairs supérieurs à 1 n'est jamais un nombre premier

soient deux nombres premiers p et q avec p > 1 et q > 1

donc il existe deux nombres relatifs positifs  k  et k'   tel que  p = 2 k + 1  et q = 2 k' + 1

p + q = 2 k + 1 + 2 k' + 1  ⇔ p +q = 2(k + k ') + 2 = 2 ((k+k') + 1)

donc il existe un nombre entier relatif  k" > 1  tel que k" = k + k' + 1

donc p + q = 2 k"  est paire, et k" > 1 par conséquent p + q  n'est pas premier  

2) existe t-il trois nombres impairs consécutifs dont la somme est un nombre premier

  soient trois nombres impairs consécutifs n = 2 k + 1 ; p = 2 k + 3  et  

q = 2 k + 5

donc n + p + q = 2 k + 1 + 2 k + 3 + 2 k + 5 = 6 k + 9 = 3(2 k + 3)

posons s = n+p+q = 3 k'  tel que k' = 2 k+3   donc  s est un multiple de 3

donc forcément  s n'est pas premier

à titre d'exemple

pour  k = 1 ⇒ s = 15  non premier

        k = 2 ⇒ s = 21   //        //

        k = 3 ⇒ s = 27  //        //

        k = 4 ⇒ s = 33  //        //

        k = 5 ⇒ s = 39  //       //

        k = 6 ⇒ s = 45  //      //

Donc il n'existe pas trois nombres impairs consécutifs dont la somme s est premier  

Explications étape par étape