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Bonjour,

le volume de la boite vaut : V = πR²h

avec R rayon de la base et h hauteur du cylindre

La surface totale de la boite vaut :

Surface des 2 bases : 2 x πR²

Surface latérale : 2πR x h

Surface totale : S = 2πR² + 2πRh = 2πR(R + h)

On veut que V soit maximal avec S = constante k

V = πR²h    et S = k

S = k ⇔ 2πR(R + h) = k ⇔ R(R + h) = k/2π

on va noter k/2π = k'

⇒ R² + Rh = k'

⇔ h = (k' - R²)/R = k'/R - R = k/2πR - R

On en déduit :

V = πR²h

= πR²(k' - R²)/R

= πR(k' - R²)

= πR(k/2π - R²)

= kR/2 - πR³

V est donc une fonction de R : V = f(R)

On cherche maintenant le maximum de f.

f'(R) = k/2 - 3πR²

f'(R) = 0 ⇒ R² = (k/2)/3π = k/6π ⇒ R = √(k/6π) = √(S/6π)

R      0                   √(S/6π)                     +∞

f'(R)             +               0             -

f(R)          crois.                     décrois

Donc V = f(R) est maximum pour R = √(S/6π)

On a alors : V = πR²h = πSh/6π = Sh/6

on en déduit h :

h = k/2πR - R

= S/[2π√(S/6π)] - √(S/6π)

= 1/√(S/6π) x [S/2π - S/6π]

= 1/√(S/6π) x (2S/6π)

= 2S/√(S) x √(6π)/(6π)

= 2√(S) x 1/√(6π)

= 2 x √(S/6π)

= 2 x R

Il faut donc choisir, pour une surface donnée, une hauteur double du rayon.

Exemple : k = S = 100π cm²

R = √(100π/6π) = √(50/3) ≈ 4,1 cm

et h = S/2πR - R = 100π/(2π x 4,08) - 4,08 = 50/4,08 - 4,08 ≈ 8,2 cm