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bonjour

je pars du cours - ce que je sais :

une équation de tangente au point a s'écrit

y = f'(a) (x-a) + f(a)

avec f'(a) = coef directeur de la tangente

puis je reprends l'énoncé.

ici on sait que :

point (5 ; -1) ; donc f(5) = -1

tangente en M(5;-1) donc a = 5

et coef directeur 1/2 en M ; donc f'(5) = 1/2

on a f(x) = a + b/(x-3)

calcul de sa dérivée f'(x)

f'(a) = 0

et f'(b/(x-3)) ?

f'(u/v) = (u'v - uv')/v²

soit ici u = b donc u' = 0

et v = x-3 donc v' = 1

soit f'(b/(x-3)) = (0*(x-3) - b*1) / (x-3)² = -b/(x-3)²

et comme f'(5) = 1/2

alors f'(5) = -b/(5-3)² = 1/2

-b = 1/2*4

b = -2

on a déjà f(x) = a - 2/(x-3)

et comme f(5) = -1

alors : f(5) = a - 2/(5-3) = -1

a -2/2 = -1

a = -1 + 1 = 0

au final f(x) = -2/(x-3)

vérif

f(5) = -2/(5-3) = -2/2 = -1

f'(5) = 2/(x-3)² = 2/(5-3)² = 2/4 = 1/2