Bonsoir,

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Équation du second degré

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Cet exercice n'étant pas évident, je vais essayer de te détailler la demarche de façon claire et précise.

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Tout d'abord, qu'est-ce que nous cherchons excactement?

On cherche la valeur de x qui vérifie l'égalité suivante:

[tex] \sf A_{blanche} = A_{gris\acute{e}e} [/tex]

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À présent, place à la résolution de l'exercice.

Commençons par donner l'expression de chacune des Aires blanche et grisée.

[tex] \sf A_{blanche} = \blue{A_{BJNM}} + \red{A_{NIDP}} \\ \sf \Longleftrightarrow A_{blanche} = \blue{BJ \times (AB - MA)} + \red{DI \times (AD - AP) }\\ \Longleftrightarrow \sf A_{blanche} = \blue{x(6 \ - x)} + \red{x(14 - x)} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \Longleftrightarrow \sf A_{blanche} = 6x - {x}^{2} + 14x - {x}^{2} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \Longleftrightarrow \sf A_{blanche} = - 2 {x}^{2} + 20x \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: [/tex]

[tex] \\ [/tex]

[tex]\sf A_{gris\acute{e}e} = \green{A_{AMNP}}+ \orange{A_{NICJ}} \\ \Longleftrightarrow \sf A_{gris\acute{e}e} = \green{AM \times AP } + \orange{(CB - BJ)(JP - PN)} \\ \Longleftrightarrow \sf A_{gris\acute{e}e} = \green{x \times x} + \orange{(14 - x)(6 - x)} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \Longleftrightarrow \sf A_{gris\acute{e}e} = {x}^{2} + 84 - 14x - 6x + {x }^{2} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \Longleftrightarrow \sf A_{gris\acute{e}e} = 2 {x}^{2} - 20x + 84 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: [/tex]

Réecrivons l'égalité enoncée au début de la résolution de cet exercice :

[tex]\sf A_{blanche} = A_{gris\acute{e}e} \\ \Longleftrightarrow \sf -2x^{2} + 20x = 2x^{2} - 20x + 84 \\ \sf \Longleftrightarrow -4x^{2} + 40x- 84 = 0 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: [/tex]

[tex] \\ [/tex]

Il s'agit d'une équation du second degré, et il nous reste à déterminer les coefficients a,b et c qui vont nous permettre de calculer la valeur de son discriminant.

[tex]\bullet \sf \: \blue{a = - 4} \: \: \\ \bullet \: \sf \red{b = 40} \: \: \: \\ \bullet \: \sf \green{c = - 84}[/tex]

⇢ Calcul du discriminant :

[tex]\sf \Delta = \red{b}^{2} - 4 \blue{a} \green{c} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \sf \Delta = \red{40}^{2} - 4 \blue{( - 4)} \green{( - 84) } \: \: \: \\ \sf \Delta = 1600 - 1344 \: = 256[/tex]

∆ > 0 ; l'équation admet deux solutions réelles distinctes :

[tex]\sf \purple{ \star} \: x_1 = \dfrac{- \red{b} - \sqrt{\Delta}}{2\blue{a}} = \dfrac{ - \red{40 } - 16}{2 \blue{( - 4)}} = \dfrac{ - 56}{ - 8} \\ \\ \sf \purple{ \boxed{ \sf\: x_1 = 7 }}[/tex]

[tex] \\ [/tex]

[tex]\sf \purple{ \star} \: x_2 = \dfrac{- \red{b} + \sqrt{\Delta}}{2\blue{a}} = \dfrac{ - \red{40 } + 16}{2 \blue{( - 4)}} = \dfrac{-24}{-8} \\ \\ \purple{ \boxed{ \sf\: x_2 = 3 }}[/tex]

[tex] \\ [/tex]

Le problème, c'est que nous allons devoir choisir une seule des deux valeurs pour répondre à la question.

En y réfléchissant bien, le point M doit être placé sur le segment [AB], or celui-ci ne mesure que 6cm!

Par conséquent, x ne peut pas prendre 7 comme valeur.

[tex] \boxed{ \boxed{\sf S=\{3 \:\}}}[/tex]

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Bonne soirée.