Réponse :

f(x) = √(- 2 x + 6)

1) déterminer l'ensemble de définition de f

- 2 x + 6 ≥ 0 ⇒ - 2 x ≥ - 6 ⇒ x < 6/2 ⇒ x < 3  Df = ]- ∞ ; 3]

2) résoudre l'équation  f(x) = 8

   √(- 2 x + 6) = 8 ⇔ √(- 2 x+ 6)² = 8² ⇔ - 2 x + 6 = 64 ⇒ 2 x = - 58 ⇒ x = - 58/2 = - 29

3) démontrer que la fonction f est décroissante sur ]- ∞ ; 3]

soit  a et b  des nombres réels positifs tel que a < b  si f(a) > f(b) alors la fonction est décroissante

f(a) - f(b) = √(- 2 a + 6) - √(- 2 b + 6)  ⇔ [√(-2a+6) -√(-2b+6)][√(-2a+6) +√(-2b+6)]/(√(-2a+6) + √(-2b+6)

⇔ [(-2a+6) - (- 2b+6)]/(√(-2a+6) + √(-2b+6))  or √(-2a+6) + √(-2b+6) > 0

- 2a + 6 + 2b - 6 = -2a + 2b = - 2(a -b)

or a-b < 0 ⇒ - 2(a-b) > 0

Donc f(a) -f(b) > 0 ⇒ f est strictement décroissante sur sont intervalle de variation

4) déterminer l'équation de la droite passant par les points A ; B et C  d'abscisses respectives - 1 ; 5 et - 5  

f '(a) = lim f(x) - f(a) = lim f(a+h) - f(a)]/h

          x→a                 h→0

f '(-1) = lim f(- 1 + h) - f(-1)]/h = √(- 2(-1+h) + 6) - √(2 + 6)]/h  

          h→0  

⇔ (√(-2h+8) - √8)(√(-2h +8) + √8)/h(√(-2h+8) + √8)

⇔ -2h+8 - 8)/h(√(-2h+8)+√8) = - 2/(√-2h+8)+√8)

lim  - 2/(√-2h+8)+√8) = -2/2√8 = - 1/√8 = - √8/8

h →0

f '(- 1) = - √8/8 = - 2√2/8 = - (√2)/4   représente le coefficient directeur de la droite  y = a x + b ⇒ b = √8 + √2/4 = 2√2 + √2/4 = 9/4)√2

y = - √2/4) x + (9/4)√2

vous faite le reste avec la même méthode

Explications étape par étape