Réponse :

bjr, n hesites pas si tu as des questions

Explications étape par étape

La suite est definie par

u1 = 1/3

un+1 = (n+1)/3n un

Question 1 --

u1 = 1/3

u2 = ( 1 + 1  ) / (3 * 1 ) u1

u2 = 2/3 * 1/3 = 2/9

u3 = ( 2 + 1 ) / ( 3 * 2 ) u2

u3 = 1/2 * 2/9 = 1/9

u4 = ( 3 + 1 ) / ( 3 * 3 ) u3

u4 = 4/9*1/9

u4 = 4/81

Question 2 --

vn+1 = un+1 /  ( n + 1 ) = (n+1)/(3n*(n+1))un = (1)/(3n) * un

vn+1 = 1/3 * un/n = 1/3 vn

vn+1 / vn = 1/3 donc vn est une suite geometrique de raion 1/3 dont le premier terme est v1=1/3

Question 3 --

nous savons du cours que vn s ecrit donc vn = v1 (1/3)^(n-1)= (1/3)^n

or un = n vn donc un = n (1/3)^n pour tout n > 0

Question 4 --

pour tout n > 0

un+1-un = (n+1)(1/3)^n+1 - n(1/3)^n = (1/3)^(n) ( (n+1)/3 - n) = (1/3)^(n) ( n + 1 - 3n) / 3

un+1-un = (1/3)^(n+1) ( n + 1 - 3n) =  (1/3)^(n+1) ( 1 - 2n)

Or

(1/3)^(n+1) > 0 pour tout n-1

( 1 - 2n) < 0 pour n>=1

donc un+1 - un est negatif et donc la suite un est decroissante

Question 5 --

faisons un petit programme en python

epsilon = 10**(-3)

n = 1

while (n*(1/3)**n > epsilon ):

   n += 1

print (n)

a)

pour epsilon = 10^-3 n est egal a 9

b)

pour epsilon = 10^-6 n est egal a 16

c)

Comme un >= 0 et un decroissante nous savons que un a une limite

il semble que la suite tende vers 0 quand n tend vers plus l infini

car pour tout epsilon (aussi petit soit il) nous arrivons a trouver un rang N a partir duquel pour tous les n >= N un <= epsilon