Réponse :

Bjr,

1. z1 = -4

z2 = -4 -4i

z3 = -4i

2.

a) a0 = 0 et b0 = 0 car z0 = 0

b) zn+1 = i zn - 4 = i(an + i bn) - 4 = -bn - 4 + i an

an+1 = -bn - 4

bn+1 = an

c) def f(n):

         a=0

         b=0

         tic=0

         print(tic,[a,b])

         for i in range(n):

               tic=tic+1

               c=a

               a=-b-4

               b=c

               print(tic,[a,b])

J'ai ajouté un petit compteur "tic" pour affichage à la console et range(1,n+1) et range(n) même mécanisme.

>>> f(8)

0 [0, 0]

1 [-4, 0]

2 [-4, -4]

3 [0, -4]

4 [0, 0]

5 [-4, 0]

6 [-4, -4]

7 [0, -4]

8 [0, 0]

On voit un cycle.

B. 1. i Un = i zn - i w = i zn - 2 + 2i = i zn - 4  + 2 + 2i = zn+1 - w = Un+1

2. U1 = i U0

U2 = i U1 = i² U0

Un = U0 (i^n) = (z0 - w) i^n = -w i^n = (2 + 2i) x i^n

3. zn = Un + w =  (2 + 2i) x i^n - (2 + 2i) = (2 + 2i) (i^n - 1)

4. a) i² = -1

i^50 = i²^25 = (-1)^25 = -1

i^100 = i²^50 = (-1)^50 = 1

b) z50 = (2 + 2i) (i^50 - 1) = (2 + 2i) (-1 - 1) = -4 - 4i

z100 = (2 + 2i) (i^100 - 1) = (2 + 2i) (1 - 1) = 0

A la console :

>>> f(50)

50 [-4, -4]

>>> f(100)

100 [0, 0]

>>>