Réponse :

EX1

U0 = 1

Un+1 = - Un + n - 2

Calculer U1 ; U2 ; U3 ; U4

U1 = - U0 + 0 - 2 = - 1 + 0 - 2 = - 3

U2 = - U1 + 1 - 2 = - (- 3) + 1 - 2 = 2

U3 = - U2 + 2 - 2 = - 2

U4 = - U3 + 3 - 2 = 3

EX2

Un = (3 n - 1)/(3 n + 2)   pour tout entier naturel n

déterminer le sens de variation de la suite Un de deux manières différentes

Un+1 - Un = (3(n+1) - 1)/(3(n+1) + 2) - (3 n - 1)/(3 n + 2)

               = (3 n + 2)/(3 n + 5)  - (3 n - 1)/(3 n + 2)

               = ((3 n + 2)² - (3 n - 1)(3 n + 5))/(3 n +5)(3 n + 2)

               = (9 n² + 12 n + 4 - 9 n² - 12 n + 5)/(3 n +5)(3 n + 2)

 donc  Un+1 - Un = 9/(3 n +5)(3 n + 2)  > 0 pour tout entier naturel n

donc la suite (Un) est croissante sur N

2ème méthode   Un = f(n)  définie sur [0 ; + ∞[

donc  f(x) = (3 x - 1)/(3 x + 2)  définie sur [0 ; + ∞[  ; la fonction f est dérivable sur [0 ; + ∞[  où f '(x) = [3(3 x + 2) - 3(3 x - 1)]/(3 x + 2)²

f '(x) = (9 x + 6 - 9 x + 3)/(3 x + 2)²

f '(x) = 9/(3 x + 2)²  or (3 x + 2)² > 0  et  9 > 0  donc  f '(x) > 0  donc la fonction f est croissante sur [0 ; + ∞[  alors la suite (Un) est donc croissante sur N

Explications étape par étape