Bonjour, j’ai des exercices de maths pour demain et je n’y arrive vraiment pas je suis totalement bl.... Pergunta de ideia deJud7

December 2020 1 75 Report

Bonjour, j’ai des exercices de maths pour demain et je n’y arrive vraiment pas je suis totalement bloquer pouvais vous m’aidez s’il vous plaît ? C’est l’exercice 3 et l’exercice 8 Merci d’avance

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godetcyril

Réponse : Bonjour,

Exercice 3

L'équation de la tangente à f, au point d'abscisse $a \in \mathbb{R}$ , est:

$y=f'(a)(x-a)+f(a)\\y=(2a-6)(x-a)+a^{2}-6a+10\\y=(2a-6)x-2a^{2}+6a+a^{2}-6a+10\\y=(2a-6)x-a^{2}+10$

Donc la tangente à f au point d'abscisse $a$ , passe par le point A(2; -1), si et seulement si:

$(2a-6) \times 2-a^{2}+10=-1\\4a-12-a^{2}+10=-1\\-a^{2}+4a-1=0$

On résout cette dernière équation du second degré:

$\displaystyle \Delta=4^{2}-4 \times (-1) \times (-1)=16-4=12\\a_{1}=\frac{-4-\sqrt{12}}{-2}=\frac{4+\sqrt{12}}{2}=\frac{4+2\sqrt{3}}{2}=2+\sqrt{3}\\a_{2}=\frac{-4+\sqrt{12}}{-2}=\frac{4-\sqrt{12}}{2}=\frac{4-2\sqrt{3}}{2}=2-\sqrt{3}$

Donc aux point d'abscisses $a_{1}=2+\sqrt{3}$ , et $a_{2}=2-\sqrt{3}$ , la tangente à f passe par le point A(2;-1).

Il ne reste plus qu'à calculer l'ordonnée de ces deux points.

i) L'ordonnée du point de C, d'abscisse $a_{1}=2+\sqrt{3}$ , est:

$y_{a_{1}}=(2+\sqrt{3})^{2}-6(2+\sqrt{3})+10=4+4\sqrt{3}+3-12-6\sqrt{3}+10\\y_{a_{1}}=5-2\sqrt{3}$

ii) L'ordonnée du point de C, d'abscisse $a_{2}=2-\sqrt{3}$ , est:

$y_{a_{2}}=(2-\sqrt{3})^{2}-6(2-\sqrt{3})+10=4-4\sqrt{3}+3-12+6\sqrt{3}+10\\y_{a_{2}}=5+2\sqrt{3}$

Donc l'ensemble des points de C, dont la tangente passe par le point A sont les points de coordonnées $(2+\sqrt{3}; 5-2\sqrt{3})$ , et $(2-\sqrt{3}; 5+2\sqrt{3})$ .

Exercice 8

La tangente à C au point d'abscisse 1 est parallèle à l'axe des abscisses, donc f'(1)=0.

Calculons la dérivé de f:

$\displaystyle f'(x)=a+\frac{b}{2\sqrt{x}}$

Comme f'(1)=0, alors:

$\displaystyle f'(1)=a+\frac{b}{2}=0\\ a=-\frac{1}{2}b$

Donc:

$\displaystyle f(x)=-\frac{1}{2}bx+b\sqrt{x}=\sqrt{x}\left(-\frac{b}{2}\sqrt{x}+b\right)$

On résout l'équation f(x)=0:

$\displaystyle \sqrt{x}\left(-\frac{b}{2}\sqrt{x}+b \right)=0\\ \sqrt{x}=0 \Rightarrow x=0\\ -\frac{b}{2}\sqrt{x}+b=0\\ -\frac{b}{2}\sqrt{x}=-b\\\sqrt{x}=b \times \frac{2}{b}\\ \sqrt{x}=2\\x=2^{2}=4$

Donc les solutions de l'équation f(x)=0, sont 0 et 4.

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