Bonjour j'ai des exercices en maths expertes à faire et j'ai beaucoup de mal avec les nombres comple.... Pergunta de ideia deLili1876

April 2021 1 73 Report

Bonjour j'ai des exercices en maths expertes à faire et j'ai beaucoup de mal avec les nombres complexes si quelqu'un pouvait bien m'aider

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jhzoihdoizh

Exercice 1 :

a) D'abord on calcul le module de $z$ : $|z| = \sqrt{1 + \sqrt{3}^2} = 2.$

Ensuite on factorise z par son module : $z = 2(\frac{1}{2} +i\frac{\sqrt 3}{2})$

On remarque que $cos (\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$ et que $sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt 3}{2}$

Donc $z = 2(cos(\frac{\pi}{3}) + isin(\frac{\pi}{3}))$ donc $arg\text{ }z = \frac{\pi}{3}$

De la même manière on obtient $arg\text{ }z' = \frac{-\pi}{4}$ .

b) On rappelle que $arg\text{ } zz' = arg\text{ } z + arg\text{ } z' [2\pi]$ . Ici on a donc $arg\text{ } zz' = \frac{\pi}{12}$ .

c) $zz' = (1+\sqrt 3) + i(\sqrt3 - 1) \text{ donc } |zz'| = 2\sqrt2$ , on peut ensuite factoriser $zz' = 2\sqrt2(\frac{1+\sqrt3}{2\sqrt2}) + i sin(\frac{\sqrt3 - 1}{2\sqrt2}))$ . En passant à la forme trigonométrique on obtient $zz' = 2\sqrt2((cos\frac{\pi}{12}) + isin(\frac{\pi}{12}))$ . On en déduit que $(cos\frac{\pi}{12}) = \frac{1 + \sqrt3}{2\sqrt2} = \frac{\sqrt6 + \sqrt2}{4}$ .

Exercice 2 :

a) $arg\text{ }z = \frac{\pi}{4}$ , en utilisant la même méthode qu'au dessus. $arg\text{ }z' = \frac{\pi}{3}$ on l'a vu dans l'exercice d'avant.

b) $arg\text{ }zz' = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4}$

c) $zz' = (1+i)(1+i\sqrt3) = (1-\sqrt3) + i(\sqrt3 + 1)$

On factorise par le module on obtient $zz' = 2\sqrt2 (\frac{1 - \sqrt3}{2\sqrt2} + i\frac{\sqrt3 + 1}{2\sqrt2})$ , on en déduit que $cos(\frac{7\pi}{12}) = \frac{1 - \sqrt3}{2\sqrt2} \text{ et } sin(\frac{7\pi}{12}) = \frac{\sqrt3 + 1}{2\sqrt2}$ .

Exercice 3 :

a) $|z| = 2 \text { donc } z = 2(\frac{\sqrt3}{2} + i\frac{1}{2})$ . On en déduit que $arg\text{ }z = \frac{\pi}{6}$ .

b) $arg\text{ }z^{2022} = \frac{\pi}{3} \times 2022 = 337\pi \equiv \pi [2\pi]$ , donc $z^{2022}$ est réel.

Exercice 4 :

a) Vu exo 1 : $arg\text{ }z = \frac{-\pi}{4}$ .

b) $Z = z^8 \text { donc } arg\text{ }Z = 8\times arg\text{ }z = -2\pi \equiv 0[2\pi]$ , donc Z est réel.

De même $Z = z^8 \text { donc } arg\text{ }Z = 10\times arg\text{ }z = -5\frac{\pi}{2} \equiv -\frac{\pi}{2} [2\pi]$ ,donc Z' est bien un imaginaire pur.

Lili1876 Merci énormément, j'ai un autre exercice qui est beaucoup plus court si vous voulez bien m'aidez aussi mais sinon il n'y a aucun soucis vous avez déjà beaucoup fait pour moi merciii , il me faut attendre quelque temps avant de pouvoir vous mettre en meilleure réponse mais je ne manquerais pas de le faire merci encore

jhzoihdoizh Je vais regarder dans tes questions si il n'est pas long je répondrais

Lili1876 super merci encore