C'est la méthode de la récurrence. Le principe est le suivant :

On cherche à montrer une propriété mathématique portant sur les entiers naturels. (Qu'on note en général n)

En gros si j'appelle ma propriété mathématique Pn, je cherche à montrer que Pn est vraie pour tout n (pour n=0,1,2,3 etc...)

Pour parvenir à faire ça, il suffit de 2 choses :

1. Montrer que P0 est vraie. (qu'on appelle aussi l'initialisation)

2. Que si Pn est vraie alors Pn+1 l'est aussi. (qu'on appelle aussi l'hérédité)

Il faut absolument qu'on ait ses deux conditions là.

Qu'est-ce qui me prouve que P(253) est vraie ?

Bah parce que P0 est vraie. Et vu que P0 est vraie, alors P1 est vraie, et ainsi de suite pour tous les entiers.

Bref, pour revenir à ton exemple :

La propriété à démontrer est la suivante :

(1 + x)^n >= 1 + nx (Pn)

Il veut montrer que si (Pn) est vraie alors Pn+1 l'est aussi. (On fait l'hérédité)

On cherche à montrer (1+x)^(n+1) >= 1 + (n+1)x : (Pn+1)

On sait que (1+x)^(n+1) = (1+x)^n * (1+x) (propriété puissances)

Vu qu'on suppose que Pn est vraie. Alors on part du principe que

(1 + x)^n >= 1 + nx.

Et que comme 1+x > 0 (d'après ton exemple)

(1 + x)^(n+1) = (1+x)^n * (1+x) >= (1 + nx) * (1+x)

A partir de là, il suffit de montrer que  (1 + nx) * (1+x) >= 1 + (n+1)x et on aura gagné. Car ça voudra dire que (1 + x)^(n+1) >= (1 + nx) * (1+x) >=  1 + (n+1)x

Bon, si tu suis jusque là tu as fait le plus dur !

Car (1 + nx) * (1+x) = 1 + nx^2 + nx + x = 1+ (n+1)x + nx^2

Or nx^2 >= 0 car n >= 0 et x^2 >= 0

Donc 1+ (n+1)x + nx^2 >= 1+ (n+1)x

Donc (1 + x)^(n+1)  >=  1 + (n+1)x (Pn+1)

On vient de démontrer que si Pn est vraie alors Pn+1 est vraie aussi.

Bonne journée à toi,