Bonjour,
J'ai eu ces exercices en contrôle, j'ai pas su faire, est ce que quelqu'un peut m'expliquer sil vous plait
Merci
J'ai eu ces exercices en contrôle, j'ai pas su faire, est ce que quelqu'un peut m'expliquer sil vous plait
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Bonjour,Ex 2)
U₁ = 2/(3 - U₀) ) = 2/(3 - 3/2) = 4/3
On vérifie la relation de récurrence au degré 1 :
(2¹ + 2)/(2¹ + 1) = 4/3 donc vraie au rang 1
Hypothèse : Vraie au rang n : Un = (2ⁿ + 2)/(2ⁿ + 1)
Un+1 = 2/(3 - Un)
= 2/(3 - (2ⁿ + 2)/(2ⁿ + 1))
= 2/[3(2ⁿ + 1) - (2ⁿ + 2)]/(2ⁿ + 1)
= 2(2ⁿ + 1)/(2x2ⁿ + 1)
= (2ⁿ⁺¹ + 2)/(2ⁿ⁺¹ + 1)
Récurrence démontrée
Ex 3)
1) (n + 1)² < 2n²
⇔ -n² + 2n + 1 < 0
Δ = 2² - 4x(-1)x1 = 8 = (2√2)²
2 solutions dans R : x₁ = (-2 - 2√2)/-2 = 1 + √2
et x₂ = (-2 + 2√2)/-2 = 1 - √2 < 0
Dans N :
n 0 3 +∞
P(n) + - -
⇒ solutions [3;+∞[
2) n=4 : 2⁴ = 16 et 4² = 16 donc vraie au rang 4
Hypothèse : n≥4, 2ⁿ ≥ n²
au rang n+1 :
2ⁿ⁺¹ = 2 x 2ⁿ et donc 2ⁿ⁺¹ ≥ 2 x n² par hypothèse
Or d'après 1) 2n² > (n+1)² pour n ≥ 3
donc pour n≥4, 2ⁿ⁺¹ ≥ 2n² > (n + 1)²
Soit 2ⁿ⁺¹ ≥ (n + 1)² récurrence démontrée