Bonjour,

1) AP² + PM² = 3,6² + 4,8² = 36 = 6² = AM²

  d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle AMP est

  rectangle en P

2) (EF) // (MP) donc d'après le théorème de Thalès : AM/AE = MP/EF

   donc : AE = AM / (MP/EF) = 6 / (4,8/6) = 7,5

   AE = AM + ME

  donc ME = AE - AM = 7,5 - 6 = 1,5

3) AP/AC = 3,6/4,5 = 0,8

   AM/AB = 6/7,5 = 0,8

   on a donc : AP/AC = AM/AB

   donc, d'après le réciproque du théorème de Thalès : (MP) // (BC)

4) (MP) // (BC) donc donc (BC) ⊥ (FC)  donc les triangles AMP et ABC

   sont rectangles respectivement en P et en C

   donc angle APM = angle ACB = 90°

   deux angles opposés par leur sommet sont égaux donc angle MAP =

   angle CAB

  comme les triangles AMP et ABC sont semblables, il reste donc :

   angle CBA = angle AMP

Réponse :

1) démontrer que le triangle AMP est un triangle rectangle

on applique la réciproque du th.Pythagore :

MP²+AP² = 4.8²+3.6² = 23.04+12.96 = 36

AM² = 6² = 36

on a donc MP²+AP² = AM²; on en déduit par la réciproque du th.Thalès que le triangle AMP est rectangle en P

2) calculer AE et en déduire la longueur ME (on justifiera les calculs)

puisque (EF) // (MP) donc d'après le th.Thalès:

AM/AE = MP/EF ⇔ 6/AE = 4.8/6 ⇔ 4.8 AE = 36 ⇒ AE = 36/4.8 = 7.5 cm

AE = AM+ME ⇒ ME = AE - AM ⇔ ME = 7.5 - 6 = 1.5 cm

3) démontrer que les droites (MP) et (BC) sont parallèles

on applique la réciproque du th.Thalès:

AB/AM = AC/AP ⇔ 7.5/6 = 4.5/3.6 ⇔ 1.25 = 1.25

on a donc l'égalité des rapports des côtés; on en déduit par réciproque du th.Thalès que les droites (MP) et (BC) sont parallèles

4) démontrer que les angles ^CBA et ^AMP sont égaux

puisque (MP) et (BC) sont parallèles et les points E, M, A, B sont alignés

et F, P,A, C sont alignés

donc la droite (EB) coupe (MP) et (BC)  en M et B

et la droite (PC) coupe (MP) et (BC) en P et C

les angles ^CBA et ^AMP sont des angles alternes-internes donc

^CBA = ^AMP

Explications étape par étape