Les triangles BFE et BCA sont semblables, dès lors :

BF / BC = BE / BA = FE / CA

La 2e égalité justifie la question 1

AEFG est un rectangle, les côté opposés sont égaux, d'où : AG = FE

remplacer FE par AG dans la réponse à la question 1, on obtient :

BE / BA = AG / CA qui justifie la question 2

dans cette égalité, remplacer BE par x, BA par 6, CA par 12, on obtient :

x / 6 = AG / 12 soit AG = 12 x / 6 = 2 x

L'aire du triangle AEFG est égale au produit de sa longueur et de sa largeur, soit :

Aire AEFG = AG . AE

AE = AB - BE = 6 - x

remplacer dans la formule de l'aire AG par 2x et AE par 6 - x, on obtient :

Aire AEFG = 2x ( 6 - x )

appliquer la distributivité

Aire AEFG : 2x . 6 - 2x . x = 12 x - x² (réponse à la question 4)

en regardant le graphique, l'horizontale y = 1 cm2 coupe la courbe en 2 points : x = 1 cm et x = 5 cm

la verticale x = 2 cm rencontre la courbe en y = 16 cm²

le sommet de la courbe correspond au maximum, pour lequel y (l'aire) = 18 cm², le x correspondant vaut 3 cm ce qui signifie que pour cette valeur, le point E serait au milieu du segment AB