Bonjour,
J'ai un DM en spé maths et je n'arrive pas du tout.
J'aimerais que quelqu'un puisse m'aider, au moins me donner une piste pour commencer
Merci beaucoup d'avance !!!
Margaux
J'ai un DM en spé maths et je n'arrive pas du tout.
J'aimerais que quelqu'un puisse m'aider, au moins me donner une piste pour commencer
Merci beaucoup d'avance !!!
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Bonsoir, voici l'exercice n° 14 effectué en entier.Si tu souhaites une aide pour le n° 15 peux-tu envoyer un autre post ?...
Ex 14 :
1) Soit (P) l'ensemble des nombres premiers.
Pour tout n, entier strict positif, et tout p appartenant à (P) on note Vp l'exposant de p dans la décomposition de n en facteurs premiers.
Pour k suffisamment grand, E(n/p^k)=0
en effet si n/p^k<1 alors E(n/p^k)=0 (où E(x) est la partie entière de x)
or n!=1*2*3*...*(n-1)*n
donc la somme des valeurs de E(n/p^k) ne comporte qu'un nombre fini de valeurs.
Ainsi, il y a exactement E(n/p) nombres divisibles par p
il y a exactement E(n/p²) nombres divisibles par p²
... il y a exactement E(n/p^k) nombres divisibles par p^k
donc α=Vp(n!)=∑E(n/p^k) pour k=1→+∞
2) applications numériques
a) p=2 et n=100
alors α=V2(100!)=∑E(100/2^k) pour k=1→+∞
or E(100/2^7)=0
donc α=E(100/2)+E(100/2²)+E(100/2³)+E(100/2^4)+E(100/2^5)+E(100/2^6)
soit α=50+25+12+6+3+1 donc α=97
b) p=5 et n=100
alors α=V5(100!)=∑E(100/5^k) pour k=1→+∞
or E(100/5³)=0
donc α=E(100/5)+E(100/5²)
soit α=20+4 donc α'=24
c) 10=2*5 en décomposition en facteurs premiers
on pose n=100 et on décompose 100! en facteurs premiers
or l'exposant de 2 comporte au moins 24 valeurs
l'exposant de 5 comporte exactement 24 valeurs
donc l'exposant de 10 comporte exactement 24 valeurs
ainsi le nombre 100! comporte exactement 24 "chiffres 0"