Bonjour,
J'ai un exercice sur l'arithmétique (terminale) que je n'arrive pas à résoudre depuis plusieurs jours. J'en serai très reconnaissant à la personne qui saurait m'aider ^^.
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Explications étape par étape :
1)
En effet, dans un ensemble Z/13Z : 5 congru à 5 ; 5² congru à 12 ;
Le cardinal des puissances de 5 dans Z/13Z est 4 donc :
si n = 1 + 4k alors :
est congru à 5
si n = 2 + 4k alors :
est congru à 12
si n = 3 + 4k alors :
est congru à 8
si n = 4 + 4k alors :
est congru à 1
2) Dans Z/13Z : 2007 est congru à 5 et 2007 = 4x501 + 3
donc :
est congru à 8
donc :
est congru à 0 et divisible dans R par 13.
3) Dans Z/13Z : 2020 est congru à 5 car : 2020 - 2007 = 13
2020 = 4 x 504 + 4 donc :
est congru à 1
Le reste de la division est donc 1.
4) Dans Z/13Z : 31 est congru à 5 et 18 est congru à 5.
Cette somme est bien divisible par 13 pour toute valeur de k.