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Bonjour,

1)

On conjecture un minimum qui vaut 5 atteint pour x=3.

2)

a)

f est de la forme u/v avec :

u=x²+x+9 donc u'=2x+1

v=x+1 donc v'=1

f '(x)=[(2x+1)(x+1)-(x²+x+9)] / (x+1)²

f '(x)=(2x²+2x+x+1-x²-x-9)/(x+1)²

f '(x)=(x²+2x-8)/(x+1)²

b)

f '(x) est donc du signe de : x²+2x-8 qui est négatif entre les racines.

Δ=2²-4(1)(-8)=36

√36=6

x1=(-2-6)/2 =-4

x2=(-2+6) ≈ 2

Donc :

f '(x) < 0 sur [-4;2]

c)

Variation de f(x) :

x-------->0.......................2.....................+∞

f '(x)---->........-................0.................+..............

f(x)----->.............D...........f(2)...............C............

D=flèche qui descend et C=flèche qui monte.

f(2)=(2²+2+9)/(2+1)=5

Conjecture validée.