Réponse :

1) exprimer l'aire de ABC en fonction de l

        A = 1/2( l x 1) = (1/2) x l

        donc  A = (1/2) x l

2) exprimer le périmètre de ABC en fonction de l

tout d'abord calculons la longueur BC

ABC triangle rectangle en A, donc d'après le th.Pythagore

on a, BC² = AB² + AC² = l² + 1 ⇒ BC = √(1+l²)

  p = AB + AC + BC = l + 1 + √(1+l²)

       p = 1 + l + √(1+l²)

3) a) exprimer le rayon r du cercle circonscrit à ABC en fonction de l

l'hypotènuse est le diamètre du cercle circonscrit, donc  r = BC/2

      r = (√(1+l²))/2

   b) exprimer l en fonction de r

         r = √(1+l²))/2  ⇔ r² = √(1+l²)²)/4 ⇔ r² = (1+l²)/4 ⇔ 1+l² = 4 r²

⇔ l² = 4 r² - 1 ⇔ l = √(4r²-1)

            donc l = √(4r²-1)

4) on note h la mesure de la hauteur de ABC issue de A

   a) en calculant l'aire de ABC de deux facçons différentes, exprimer h en fonction de l

     A = (1/2) x l

     A = 1/2( h x √(1+l²)

donc  1/2( h x √(1+l²) = (1/2) x l ⇔ h√(1+l²) = l ⇔ h = l/√(1+l²)

          donc   h = l/√(1+l²)

    b) montrer alors que l = h/√(1 - h²)

    on a  h = l/√(1+l²) ⇔ h² = l²/(1+l²) ⇔ h²(1+l²) = l² ⇔ h² + h²l² = l²

⇔ h² = l² - h²l² ⇔ h² = l²(1 - h²) ⇔ l² = h²/(1-h²) ⇔ l = h/√(1-h²)

        donc  l = h/√(1 - h²)

5) exprimer BH en fonction de l et de h

le triangle ABH est rectangle en H, donc d'après le th.Pythagore

      BH² = l² - h² ⇔ BH = √(l² - h²)

puis en fonction de l uniquement

h² = l/(1+l²)   donc   BH = √(l² - l/(1+l²)) = √[(l⁴+l² -1)/(1+l²)]

Explications étape par étape