Bonsoir, l'exercice peut paraître compliqué, en réalité, il ne l'est pas, il ne faut pas se laisser décourager par le x en puissance.
Ici, pour étudier le sens de variation, il sera nécessaire de dériver chacune des 3 fonctions. On commence par déterminer le domaine de définition.
1- Pour tout réel x, f est continue, et bien définie, telle que 2,3^x > 0. Pourquoi ? Si x est négatif, imaginons par exemple, que x = -0,3, alors 2,3^(-0,3) = 1 / 2,3^0,3, qui est strictement positif au dénominateur.
Ainsi, pour tout réel x, f est bien définie et strictement positive.
Ceci, permet de réécrire l'expression de f(x) :
f(x) = 2,3^x = exp(ln(2,3^x)) = exp(x*ln(2,3)) (ceci est autorisé, car 2,3^x > 0, donc ln(2,3)^x est bien définie).
On dérive, comme x*ln(2,3) est dérivable sur R, que la fonction exponentielle l'est aussi, par composition, f est dérivable sur R. On pose u(x) = ln(2,3)^x, alors f(x) = exp(u(x)).
On aura f'(x) = u'(x)*exp(u(x)) = ln(2,3)*exp(ln(2,3)^x) = ln(2,3)*2,3^x.
Comme ln(2,3) > 0, on en déduit que f'(x) > 0, ce qui permet d'obtenir, que f est strictement croissante sur R.
2- Même raisonnement que précédemment. Cependant, méfiance, au lieu de ln(2,3), tu auras ln(0,9), qui est négatif. En effet, la fonction ln est strictement croissante sur ]0 ; + infini[, avec ln(1) = 0. Comme 0,9 < 1, ln(0,9) < 0, ce qui équivaudra à affirmer que f est strictement décroissante sur R.
3- Raisonnement analogue à la 1re fonction, cependant, on aura ln(10,9) > 0, donc f sera strictement croissante sur R, je te laisse rédiger toi-même le raisonnement complet pour les 2 fonctions.
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Explications étape par étape:
Bonsoir, l'exercice peut paraître compliqué, en réalité, il ne l'est pas, il ne faut pas se laisser décourager par le x en puissance.
Ici, pour étudier le sens de variation, il sera nécessaire de dériver chacune des 3 fonctions. On commence par déterminer le domaine de définition.
1- Pour tout réel x, f est continue, et bien définie, telle que 2,3^x > 0. Pourquoi ? Si x est négatif, imaginons par exemple, que x = -0,3, alors 2,3^(-0,3) = 1 / 2,3^0,3, qui est strictement positif au dénominateur.
Ainsi, pour tout réel x, f est bien définie et strictement positive.
Ceci, permet de réécrire l'expression de f(x) :
f(x) = 2,3^x = exp(ln(2,3^x)) = exp(x*ln(2,3)) (ceci est autorisé, car 2,3^x > 0, donc ln(2,3)^x est bien définie).
On dérive, comme x*ln(2,3) est dérivable sur R, que la fonction exponentielle l'est aussi, par composition, f est dérivable sur R. On pose u(x) = ln(2,3)^x, alors f(x) = exp(u(x)).
On aura f'(x) = u'(x)*exp(u(x)) = ln(2,3)*exp(ln(2,3)^x) = ln(2,3)*2,3^x.
Comme ln(2,3) > 0, on en déduit que f'(x) > 0, ce qui permet d'obtenir, que f est strictement croissante sur R.
2- Même raisonnement que précédemment. Cependant, méfiance, au lieu de ln(2,3), tu auras ln(0,9), qui est négatif. En effet, la fonction ln est strictement croissante sur ]0 ; + infini[, avec ln(1) = 0. Comme 0,9 < 1, ln(0,9) < 0, ce qui équivaudra à affirmer que f est strictement décroissante sur R.
3- Raisonnement analogue à la 1re fonction, cependant, on aura ln(10,9) > 0, donc f sera strictement croissante sur R, je te laisse rédiger toi-même le raisonnement complet pour les 2 fonctions.
Bonne soirée.