Bonjour ;

Exercice n° 1 .

1.

On a : 0 ≤ n ;

donc : 3 ≤ n + 3 ;

donc : 0 < 1/(n + 3) ≤ 1/3 ;

donc : - 4/3 ≤ - 4/(n + 3) < 0 ;

donc : 2 - 4/3 ≤ 2 - 4/(n + 3) < 2 ;

donc : 2/3 ≤ Un < 2 .

La suite est donc majorée par 2 , mais aucun de ses majorants n'est atteint.

2.

La suite est minorée par 2/3 et ce minorant est atteint car on a :

U0 = 2 - 4/(0 + 3) = 2 - 4/3 = 6/3 - 4/3 = 2/3 .

Exercice n° 2 .

Supposons que la suite est arithmétique : sa raison est r et son premier terme est U0 ; donc pour tout n nombre entier naturel , on a :

Un = U0 + n x r .

On a : U3 = U0 + 3r = - 20 ; U8 = U0 + 8r = - 10 et U33 = U0 + 33r = 40 ;

donc : U8 - U3 = 5r = - 10 + 20 = 10 ; donc : r = 10/5 = 2 .

On a aussi : U33 - U8 = 25r = 40 + 10 = 50 ; donc : r = 50/25 = 2 .

La raison de la suite est : r = 2 ; donc on a : U3 = U0 + 3 x 2 = - 20 ;

donc  : U0 + 6 = - 20 ; donc : U0 = - 20 - 6 = - 26 .

La suite (Un) peut être une suite arithmétique de raison r = 2 et de premier terme U0 = - 26 .