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Réponse :

Oui, il faut utiliser le TVI

Explications étape par étape

1) f(x) = 2x e^(-x)

f est de la forme u.v  => f' = u'v + uv'

u=2x           u'=2

v=e^(-x)      v'=-e^(-x)

f'(x) = 2e^(-x) -2xe^(-x) = (2-2x)e^(-x) = 2(1-x)e^(-x)

2)

e^(-x) est positif donc f'(x) est du signe de (1-x), positif si x<1, négatif si x>1

x        0                                       1                                               12

f'(x)                      +                     0                     -

f(x)      0          /                          2/e                           \                24/(e^12)

2/e : environ 0,7

24/(e^12) environ 0,0001

f(0) < 0,5   f(1)=>0,5      la fonction est continue et strictement monotone, donc il i a une valeur x1 appartenant à [0,1] telle que f(x1) = 0,5

Même raisonnement entre 1 et 12

On obtient   x1=036             x2= 2,15

3) Pour la convexité, on se sert de la dérivée seconde

f"(x) = 2(x-2)e^(-x) qui est du signe de (x-2)     négatif si x<2

x<2  f"(x)<0        fonction concave

x=2  f"(x)=0         inflexion

x>2   f"(x)>0        fonction convexe

Partie B

1) D'après le tableau de variation, l'alcoolémie est croissante pendant la première heure, puis décroissante.

2) Elle est maximale au bout d'une heure, de valeur 2/e, environ de 0,74 g/l

3) L'alcoolémie repasse sous la limite de 0,5g/l pour x = 2,15 soit 2h1/4 après avoir consommé de l'alcool dans la quantité qui fait monter l'alcoolémie à 0,74g/l