Réponse :

f(x) = - 1/32) x³ + 3/16) x²   définie sur [0 ; 4]

1) vérifier que les points O et A sont situés sur cette courbe

le point O(0 ; 0) ∈ Cf  

le point A(4 ; 1) ⇒ f(4) = 1 = - 1/32)*4³  + 3/16)*4² = - 64/32 + 3 = - 2 + 3 = 1

⇒ A(4 ; 1) ∈ Cf

2) a) calculer la dérivée f ' de f

f (x) = - 1/32) x³ + 3/16) x² ⇒ f '(x) = - 3/32) x² + 6/16) x

montrer que pour tout x de [0 ; 4] : f ' (x) = - 3/32) x(x - 4)

f '(x) = - 3/32) x² + 6/16) x = - 3/32) x² + 12/32) x

        = - 3/32) x(x - 4)

b) étudier le signe de f '(x) sur [0 ; 4] et donner le tableau de variation de f

x       0                                   4

f '(x)  0               +                   1

x      0                                     4

f(x)   0 →→→→→→→→→→→→→→→→ 1

                 croissante

3) a) calculer f '(4). Donner une interprétation graphique de ce résultat

f '(x) = - 3/32) x(x - 4)

      = - 3/32)4(4 - 4) = 0

⇒ f '(4) = 0  ⇒ la tangente au point d'abscisse 4 est horizontale

b) calculer le coefficient directeur de la tangente à la courbe C à l'origine

le coefficient directeur de la tangente à C en 0 est f '(0)

f '(0) = 0

Montrer que la tangente en O est l'axe des abscisses

y = f(0) + f '(0)(x - 0) ⇔ y = f(0) + f '(0) x  

                                        = 0 + 0 x ⇒ y = 0

4) Recopier et compléter le tableau suivant. Arrondir les valeurs au centième

x              0         0.5         1          1.5         2          2.5        3         3.5        4

f(x)           0        0.04     0.16      0.32      0.5       0.68      0.84    0.96      1

en cm      0        0.16      0.63      1.28       2          2.73      3.38     3.84     4

5) tracer la courbe C représentative de f et les tangentes

en prenant l'unité graphique de 4 cm

il suffit de placer les points sur le graphe et les tangentes en 0 et 4 sont des tangentes horizontales

je vous laisse le soin de faire le tracé

Explications étape par étape