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Bonjour,

1) U₁ = U₀₊₁ = U₀/(1 - 3U₀) = 1/(1 - 3) = -1/2

U₂ = ... = (-1/2)/(1 + 3/2) = -1/5

U₃ = (-1/5)/(1 + 3/5) = -1/8

U₄ = (-1/8)/(1 + 3/8) = -1/11

U₁/U₀ = -1/2 et U₂/U₁ = 2/5 donc (Un) n'est pas géométrique

U₁ - U₀ = -3/2 et U₂ - U₁ = 3/10 donc (Un) n'est pas arithmétique

2) Vn = 1 - 1/Un

V₀ = 1 - 1/U₀ = 1 - 1 = 0

V₁ = 1 - 1/U₁ = 1 - 1/(-1/2) = 1 + 2 = 3

V₂ = ... = 6

V₃ = 9

(Vn) semble être arithmétique de raison r = 3 et de 1er term V₀ = 0

3) Vn = 1 - 1/Un

⇒ Vn+1 = 1 - 1/Un+1

= 1 - (1 - 3Un)/Un

= (Un - 1 + 3Un)/Un

= (4Un - 1)/Un

= 4 - 1/Un

= 3 + 1 - 1/Un

= 3 + Vn

donc (Vn) arith. de raison r = 3 et de 1er terme V₀ = 0

On en déduit : Vn = V₀ + nr = 0 + nx3 = 3n

4) Vn = 1 - 1/Un

⇔ 1/Un = 1 - Vn

⇒ Un = 1/(1 - Vn)

⇒ Un = 1/(1 - 3n)

5) quand n → +∞, (1 - 3n) → -∞ donc lim Un = 0-