Bonjour 1) Un=exp(0²/n)+exp(1²/n)+...+exp(n²/n) On sait que exp(x)≥1+x, en appliquant pour k ∈ IN on a exp(k²/n)≥1+k²/n En appliquant cette inégalité pour k variant de 0 à n et en additionnant on a : Un≥1*(n+1)+(0²+1²+2²+...+n²)/n Soit Un≥(n+1)+(1²+...+n²)/n≥(n+1) puisque (1²+...+n²)/n est positif Donc (∀n∈IN*) Un≥n+1 Or n+1 tend vers +∞ donc Un également
2) Vn=Un/n On sait que Un≥(n+1)+(1²+2²+...+n²)/n donc Vn≥(n+1)/n+(1²+2²+...+n²)/n²≥(1²+2²+...+n²)/n² car (n+1)/n positif Donc Vn≥1/n²*(1²+2²+...+n²) On sait que 1²+2²+...+n²=n(n+1)(2n+1)/6 Donc Vn≥1/n²*(n(n+1)(2n+1)=/6 Soit Vn≥1/n*(n+1)(2n+1)/6 Vn≥(n+1)/n*(2n+1)/6 Comme (n+1)/n>1 on a (n+1)/n*(2n+1)/6≥(2n+1)/6 Donc Vn≥(2n+1)/6
3a) Ce n'est que du calcul : U3≈26,275
3b) On modifie : Ligne 2 : u et v sont des réels A partir de la ligne 7 : "Fin de la boucle pour Affecter à v la valeur u/n Afficher v"
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Bonjour1) Un=exp(0²/n)+exp(1²/n)+...+exp(n²/n)
On sait que exp(x)≥1+x, en appliquant pour k ∈ IN on a
exp(k²/n)≥1+k²/n
En appliquant cette inégalité pour k variant de 0 à n et en additionnant on a :
Un≥1*(n+1)+(0²+1²+2²+...+n²)/n
Soit Un≥(n+1)+(1²+...+n²)/n≥(n+1) puisque (1²+...+n²)/n est positif
Donc (∀n∈IN*) Un≥n+1
Or n+1 tend vers +∞ donc Un également
2) Vn=Un/n
On sait que Un≥(n+1)+(1²+2²+...+n²)/n donc
Vn≥(n+1)/n+(1²+2²+...+n²)/n²≥(1²+2²+...+n²)/n² car (n+1)/n positif
Donc Vn≥1/n²*(1²+2²+...+n²)
On sait que 1²+2²+...+n²=n(n+1)(2n+1)/6
Donc Vn≥1/n²*(n(n+1)(2n+1)=/6
Soit Vn≥1/n*(n+1)(2n+1)/6
Vn≥(n+1)/n*(2n+1)/6
Comme (n+1)/n>1 on a (n+1)/n*(2n+1)/6≥(2n+1)/6
Donc Vn≥(2n+1)/6
3a) Ce n'est que du calcul : U3≈26,275
3b) On modifie :
Ligne 2 : u et v sont des réels
A partir de la ligne 7 :
"Fin de la boucle pour
Affecter à v la valeur u/n
Afficher v"