Réponse :

f(x) = x³ - 3 x² + 1

1) écrire une équation de la droite T

l'équation de la tangente T à Cf  au point d'abscisse 1  est :

       y = f(1) + f '(1)(x - 1)

f '(x) = 3 x² - 6 x ⇒ f '(1) = 3 - 6 = - 3

f(1) = 1 - 3 + 1 = 2 - 3 = - 1

donc   y = - 1 - 3(x - 1) = - 1 - 3 x + 3

Donc l'équation de T est : y = - 3 x + 2

2) vérifier que, pour tout réel x,  x³ - 3 x² + 1 - (- 3 x +2) = (x - 1)³

x³ - 3 x² + 1 - (- 3 x +2) = x³ - 3 x² + 1 + 3 x - 2 = x³ - 3 x² + 3 x - 1

= (x - 1)²(x - 1) = (x² - 2 x +1)(x - 1) = x³ - x² - 2 x² + 2 x + x - 1 = x³ - 3 x² + 3x - 1

Donc on a bien x³ - 3 x² + 1 - (- 3 x +2) = (x - 1)³

3) a) étudier la position de Cf par rapport à T

        f (x) - y = (x - 1)³ = (x - 1)²(x - 1)  or (x - 1)² ≥ 0

étudions le signe de x - 1

x      - ∞                      1                        + ∞

x-1                -              0            +

f(x) - y ≥  sur l'intervalle [1 ; + ∞[  donc la courbe Cf est dessus de T

f(x) - y ≤ 0  sur l'intervalle ]- ∞ ; 1] donc la courbe Cf est en dessous de T

Explications étape par étape