Bonjour, j'aurais besoin d'aide pour un exercice de maths. Merci d'avance à ceux qui prendront de le.... Pergunta de ideia deaidezmoimerci

January 2021 1 51 Report

Bonjour, j'aurais besoin d'aide pour un exercice de maths.
Merci d'avance à ceux qui prendront de leur temps pour me répondre ^^

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godetcyril

Réponse : Bonjour,

a) L'arc CD est issu du cercle de centre A et de rayon [AC] qui est 1.

L'arc DE est issu du cercle de centre B et de rayon BD qui est égal à AB+AD= 1+1=2. En notant $r_{1}=AC$ , on a que le rayon BD est égal à $1+r_{1}$ .

L'arc EF est issu du cercle de centre C et de rayon CE égal à $1+r_{2}$ , en notant $r_{2}$ , le cercle de centre B et de rayon BD=BE.

Et ainsi de suite, donc on a pour tout $n \geq 1, r_{n+1}=1+r_{n}$ , donc la suite des rayons $(r_{n})$ est une suite arithmétique de raison 1 et de premier terme $r_{1}=1$ .

b) Chaque arc représente un tiers de cercle, donc au bout de 15 arcs, la courbe obtenue aura fait 5 tours. Et la mesure de chaque arc de cercle que l'on note $l_{n}$ , mesure $l_{n}=\frac{2\pi r_{n}}{3}=\frac{2\pi}{3}r_{n}$ .

Donc la longueur $L$ de la courbe obtenue en effectuant cinq tours est:

$L=l_{1}+l_{2}+l_{3}+...+l_{15}=\frac{2\pi}{3}r_{1}+\frac{2\pi}{3}r_{2}+\frac{2\pi}{3}r_{3}+...+\frac{2\pi}{3}r_{n}=\frac{2\pi}{3}(r_{1}+r_{2}+r_{3}+...+r_{n})$ .

Et comme $(r_{n})$ est une suite arithmétique de raison 1 et de premier terme $r_{1}=1$ :

$r_{1}+r_{2}+r_{3}+...+r_{n}=15 \times \frac{r_{1}+r_{15}}{2}\\r_{n}=r_{1} +(n-1) \times 1=1+n-1=n\\r_{15}=15\\Donc \; r_{1}+r_{2}+r_{3}+...+r_{n}=15 \times \frac{1+15}{2}=15 \times 8=120$ .