Bonjour ;

a.

∀ x ∈ IR* ; f(x) = (x² - 2x + 1)/x = x - 2 + 1/x ;

donc f ' (x) = (x - 2 + 1/x) ' = (x) ' - (2) ' + (1/x) '

= 1 - 0 - 1/x² = 1 - 1/x² = (x² - 1)/x² .

On a : f ' (x) = 0 ;

donc : (x² - 1)/x² = 0 ;

donc : x² - 1 = 0 ;

donc : (x - 1)(x + 1) = 0 ;

donc : x - 1 = 0 ou x + 1 = 0 ;

donc : x = 1 ou x = - 1 ;

donc C admet des tangentes horizontales aux

points d'abscisses x = 1 ou x = - 1 .

Comme on a : f(1) = 0 et f(- 1) = - 4 ; donc C admet

des tangentes horizontales aux points A(1 ; 0) et B(- 1 ; - 4) .

b.

On a f ' (x) = 2 ;

donc : (x² - 1)/x² = 2 ;

donc : x² - 1 = 2x² ;

donc : x² = - 1 , ce qui absurde ;

donc il n'existe aucun point de la courbe C

où la tangente admet un coefficient directeur

égal à 2 .

c.

La tangente au point considérée de C ayant pour abscisse

x0 est parallèle à la droite d'équation y = - 3x + 3 ; donc le

coefficient directeur de cette tangente est - 3 ; donc f ' (x0) = - 3 .

Résolvons donc l'équation : f ' (x) = - 3 .

f ' (x) = - 3 ;

donc : (x² - 1)/x² = - 3 ;

donc : x² - 1 = - 3x² ;

donc : 4x² - 1 = 0 ;

donc : (2x)² - 1² = 0 ;

donc : (2x - 1)(2x + 1) = 0 ;

donc : 2x - 1 = 0 ou 2x + 1 = 0 ;

donc : x = 1/2 ou x = - 1/2 ;

donc les abscisses des points recherchés

sont x = 1/2 et x = - 1/2 .

Soit