Verified answer

Bonjour,

1) Soit [tex]h[/tex] la fonction définie sur [tex]\mathbb{R}[/tex] par :

[tex]h(x)=x^{3}-6x^{2} +12x-8[/tex]

On sait que la fonction se factorise par :

[tex]h(x)=(x-2)(ax^{2} +bx+c)[/tex] avec [tex]a[/tex], [tex]b[/tex] et [tex]c[/tex] réels.

Pour obtenir du [tex]x^{3}[/tex], il est évident qu'on l'obtienne à partir de [tex]x\times ax^{2}[/tex] (par le développement).

Or, d'après la forme développée de [tex]h[/tex], on est censé obtenir [tex]x^{3}[/tex].

Ainsi, on en déduit que [tex]x\times ax^{2}=x^{3}[/tex], soit [tex]\boxed{a=1}[/tex].

De la même façon, pour obtenir une constante, on l'obtient à partir de [tex]-2\times c[/tex].

Par identification, la forme développée nous indique qu'on doit obtenir [tex]-8[/tex].

On en déduit que [tex]\boxed{c=4}[/tex].

2) Développons l'expression obtenue :

[tex]h(x)=(x-2)(x^{2} +bx+4)\\\\h(x)=x^{3}+bx^{2} +4x-2x^{2} -2bx-8\\\\h(x)=x^{3}+(b-2)x^{2} +(4-2b)x-8[/tex]

On a, par identification,

[tex]b-2=-6[/tex] et [tex]4-2b=12[/tex]

soit :

[tex]\boxed{b=-4}[/tex] (dans les deux cas, ce qui permet de nous rassurer ;-)

3) Finalement, on a,[tex]\forall x \in \mathbb{R}[/tex] :

[tex]\boxed{h(x)=(x-2)(x^{2} -4x+4)}[/tex]

En espérant t'avoir aidé.

bonjour

h(x) = x³ - 6x² + 12x - 8

h(x) = (x - 2)(ax² + bx + c)

1)

le terme  x³ est le produit de x par ax²

            x*ax² = ax³  =>  a = 1

le terme constant -8 est le produit de -2 par c

          -2c = -8

            c = 4

d'où

2)  

  h(x) = (x - 2)(x² + bx + 4)

         = x³ + bx² + 4x -2x² -2bx - 8

         = x³ + (b - 2)x² + (4 - 2b)x - 8

le coefficient de x² est - 6

    b - 2 = -6

    b = -6 + 2

    b = -4

on peut vérifier que le coefficient de x est 12

 si b = -4  alors 4 - 2b vaut  4 -2*(-4) = 4 + 8 = 12

                       h(x) = (x - 2)(x² - 4x + 4)

3)

h(x) = (x - 2)(x² - 2*2x + 2²)

h(x) = (x - 2)(x - 2)²

h(x) = (x - 2)³