Réponse :

soit  f(x) = (2 x² + 6 x - 3)/x   définie sur  R\{0}

1. Montrer que pour tout x € R\{0}, f'(x) = (2 x²+3)/x²

la fonction quotient est dérivable sur  R\{0} et sa dérivée f '

est  f '(x) = (u/v)' = (u'v - v'u)/v²

u(x) = 2 x² + 6 x - 3  ⇒ u'(x) = 4 x + 6

v(x) = x  ⇒ v'(x) = 1

f '(x) = ((4 x + 6)*x - (2 x² + 6 x - 3))/x²

       = (4 x² + 6 x - 2 x² - 6 x + 3)/x²

 f '(x) = (2 x² + 3)/x²

   2. Déterminer le signe de f' sur R\{0}  

   f '(x) = (2 x² + 3)/x²   or  x² > 0  et  2 x² + 3 > 0

donc  f '(x) > 0

3. En déduire le tableau de variation de f.

puisque  f '(x) > 0  donc  f est strictement croissante

Explications étape par étape :