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Réponse :

Bonjour

Cf possède un point d'inflexion si la dérivée seconde de f s'annule en changeant de signe

Transformons f pour dériver plus facilement :

f(x) = (x² + 1) / x

f(x) = x²/x + 1/x

f(x) = x + 1/x

ainsi

f'(x) = 1 - 1/x²

et

f' est de la forme 1/v donc f'' = -v'/v² avec v(x) = x²

f''(x) = 2x/(x²)²

f''(x) = 2/x³

2. Si x > 0 alors x³ > 0 et f''(x) > 0

Si x < 0 alors x³ < 0 et f''(x) < 0

Ainsi sur ]0; +∞[ on a f''(x) > 0

La dérivée seconde de f ne change pas de signe donc Cf n'a pas de point d'inflexion sur ]0; +∞[.