Réponse :

montrer que pour tous  x1 ; x2 ∈ [0 ; + ∞[   √x1 - √x2 = (x1 - x2)/(√x1+√x2)

√x1 - √x2 = (√x1 - √x2)(√x1 +√x2)/(√x1 + √x2)

                = [(√x1)² - (√x2)²]/(√x1 + √x2)         IR (a - b)(a+b) = a² - b²

                = (x1 - x2)/(√x1 + √x2)

Montrer que la fonction f(x) = √x  est strictement croissante sur ]0 ; + ∞[

puis construire son tableau de variation

soit  x1 > 0 et x2 > 0 tel que  x1 < x2 , il faut montrer que f(x1) < f(x2)

⇔ f(x1) - f(x2) < 0  ⇔ √x1 - √x2  < 0 ⇔ on utilise le résultat de question 1)

et on a ;  (x1 - x2)/(√x1 + √x2) < 0   or (√x1 + √x2) > 0  et x1 < x2 donc

f(x1) - f(x2) < 0 ⇔ f(x1) < f(x2)  donc la fonction f est strictement croissante sur ]0 ; + ∞[

Tableau de variation de f

x      0                                 + ∞

f(x)   >0 →→→→→→→→→→→→→→ + ∞

             croissante

3) en déduire que pour tout x < 1 , √x < 1  et que pour x > 1  , √x > 1

x < 1  ⇒ f(x) < f(1)  puisque la √x est strictement croissante sur ]0 ; + ∞[

⇔ √x < √1 ⇔ √x < 1

x > 1 ⇒ f(x) > f(1) puisque la √x est strictement croissante sur ]0 ; + ∞[

donc √x > √1   donc √x > 1    

Explications étape par étape