bonjour , j’aurais besoin de votre aide s’il vous plaît , je suis plutôt bon en maths , je me suis c.... Pergunta de ideia declement1345

October 2020 1 80 Report

bonjour , j’aurais besoin de votre aide s’il vous plaît , je suis plutôt bon en maths , je me suis creuser la tête mais alors cette exercices ..

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godetcyril

Réponse : Bonjour,

I milieu de [DA]: $\overrightarrow{DI}=\frac{1}{2}\overrightarrow{DA}$ .

L milieu de [AB]: $\overrightarrow{AL}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$ .

K milieu de [CB]: $\overrightarrow{CK}=\frac{1}{2}\overrightarrow{CB}$ .

J milieu de [CD]: $\overrightarrow{CJ}=\frac{1}{2}\overrightarrow{CD}$ .

Prouvons maintenant que $\overrightarrow{IL}=\overrightarrow{JK}$ :

D'après la troisième égalité: $\overrightarrow{KC}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$ .

D'après la relation de Chasles: $\overrightarrow{KC}+\overrightarrow{CJ}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}+\frac{1}{2}\overrightarrow{CD}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{KJ}$ .

D'après la première égalité: $\overrightarrow{DL}+\overrightarrow{LI}=\frac{1}{2}\overrightarrow{DA}\\ \overrightarrow{IL}=\overrightarrow{DL}-\frac{1}{2}\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{DL}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}+\frac{1}{2}\overrightarrow{DL}+\frac{1}{2}\overrightarrow{DL}\\\\ =\frac{1}{2}\overrightarrow{AL}+\frac{1}{2}\overrightarrow{DL}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BL}+\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{BL})$ .

$\overrightarrow{IL}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{BL}+\overrightarrow{DB})\\Or \; 2\overrightarrow{BL}=\overrightarrow{BA}\\Donc \; \overrightarrow{IL}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{DB})=\frac{1}{2}\overrightarrow{DB}$ .

Or on avait trouvé que $\overrightarrow{KJ}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BD}$ , donc $\overrightarrow{JK}=\frac{1}{2}\overrightarrow{DB}$ .

Par suite, $\overrightarrow{IL}=\overrightarrow{JK}$ .

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