Bonjour, j'aurais besoin d'un peu d'aide au sujet de la question 3 de mon exercice de math, niveau T.... Pergunta de ideia deamandine49

November 2020 1 100 Report

Bonjour, j'aurais besoin d'un peu d'aide au sujet de la question 3 de mon exercice de math, niveau Terminal. Les deux premières je les ai déjà faite et j'estime qu'elles sont justes.
pour cette 3ème question, je sais qu'il faut étudier le signe de un+1 - un mais après je ne sais pas comment procéder.
En espérant avoir une réponse, bonne journée !

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francoismareau

Bonjour,

1) On peut conjecturer que $(u_n)$ est décroissante et converge vers 0.

2) Montrons par récurrence sur $n \in \mathbb{N}$ la propriété H(n): " $u_n \ge 0$ ."

Initialisation : n=0

H(0) est vraie car $u_0=1 \ge 0$ .

Hérédité : Soit n un entier naturel tel que H(n) soit vraie, et montrons H(n+1).

On a : $u_{n+1}=\dfrac{u_n}{u_n+8}$ et, par HR, $u_n \ge 0$ donc $u_n+8 \ge 0$ .

Ainsi, $u_{n+1} \ge 0$ , d'où H(n+1).

Conclusion : Par principe de récurrence, pour tout entier naturel n, H(n) est vraie. Autremement dit, pour tout entier naturel n : $u_n \ge 0$ .

3) a) Montrons d'abord que $(u_n)$ est bien décroissante.

Comme tu l'as dit, on peut étudier le signe de $u_{n+1}-u_n$ :

$u_{n+1}-u_n=\dfrac{u_n}{u_n+8}-u_n=\dfrac{-u_n^2-7u_n}{u_n+8}=\underset{\le0}{\underbrace{-u_n}}\times \dfrac{u_n+7}{u_n+8}\le0$

donc $u_n+1-u_n\le0 \iff u_{n+1} \le u_n$

d'où : $(u_n)$ est décroissante.

Rq : Il aurait été plus simple ici d'étudier $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ (on montre d'abord $u_n\not =0$ en adaptant la récurrence de la question 2)):

$\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=\dfrac{1}{u_n+8}$ car $u_n \ge 0$ donc $u_n+8 >1$ , d'où : $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ .

b) $(u_n)$ est décroissante et minorée (par 0), donc converge vers une limite $l$ telle que $0 \le l$ .

En passant à la limite dans $u_{n+1}=\dfrac{u_n}{u_n+8}$ , on obtient :

$l=\dfrac{l}{l+8} \iff l=0 \text{ ou } l=-7$ .

Comme $l=-7$ est exclu car $l \ge 0$ , $\boxed{l=0}$ .

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