Bonjour, j'aurais besoin d'un peu d'aide au sujet de la question 3 de mon exercice de math, niveau Terminal. Les deux premières je les ai déjà faite et j'estime qu'elles sont justes.
pour cette 3ème question, je sais qu'il faut étudier le signe de un+1 - un mais après je ne sais pas comment procéder.
En espérant avoir une réponse, bonne journée !
pour cette 3ème question, je sais qu'il faut étudier le signe de un+1 - un mais après je ne sais pas comment procéder.
En espérant avoir une réponse, bonne journée !
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Bonjour,
1) On peut conjecturer que
est décroissante et converge vers 0.
2) Montrons par récurrence sur
la propriété H(n): "
."
Initialisation : n=0
H(0) est vraie car
.
Hérédité : Soit n un entier naturel tel que H(n) soit vraie, et montrons H(n+1).
On a :
et, par HR, 
donc 
.
Ainsi,
, d'où H(n+1).
Conclusion : Par principe de récurrence, pour tout entier naturel n, H(n) est vraie. Autremement dit, pour tout entier naturel n :
.
3) a) Montrons d'abord que
est bien décroissante.
Comme tu l'as dit, on peut étudier le signe de
:
donc
d'où :
est décroissante.
Rq : Il aurait été plus simple ici d'étudier
(on montre d'abord 
en adaptant la récurrence de la question 2)):
b)
est décroissante et minorée (par 0), donc converge vers une limite 
telle que 
.
En passant à la limite dans
, on obtient :
Comme
est exclu car 
, 
.