Réponse :

Bonjour

Ex5

Explications étape par étape

f(x)=(ax+b)e^x

1) f(0)=-1 donc (a*0+b)e^0=-1   soit b*(1)=-1     b=-1

2)f'(0)=1 car c'est le ceof.directeur de la tangente au point x=0

Dérivée  f(x) est de la forme u*v sa dérivée est donc f'(x)=u'v+v'u avec

u=ax+b     u'=a  et v=e^x    v'=e^x

f'(x)=a*e^x +(ax+b)e^x=(ax+a+b)e^x

f'(0)=1 ce qui donne (a-1)*(1)=1  donc a=2

on en déduit f(x)=(2x-1)e^x

3) Etude de f(x)  sur R

limites si x tend vers -oo f(x) tend vers -oo*(0+)=0-

si x tend vers +oo f(x) tend vers +oo

 dérivée f'(x)=2e^x+(e^x)(2x-1)= (2x-1)e^x

cette dérivée s'annule pour x=-1/2

tableau de signes de f'(x) et de variations de f(x)

x    -oo                              -1/2                             +oo

f'(x)...................-........................0.................+.................

f(x)0-..........décroi...............f(-1/2)..........croi ............+oo

f(-1/2)=(-1-1)e^(-1/2)= -2/rac e    = - 1,2(environ)