u_n ≥ 1000 ; donc : n² + n + 2 ≥ 1000 ; donc : n² + n - 998 ≥ 0 .
Résolvons l'équation : x² + x - 998 = 0 ; donc : Δ = 1 + 4 * 998 = 1 + 3992 = 3993 ; donc : x1 = (- 1 + √3993)/2 ≈ 31,10 et x2 = (- 1 - √3993)/2 ≈ - 32,10 ; donc on a : n² + n - 998 ≥ 0 pour n ≥ 31,10 ; donc n ∈ {32 ; 33 ; ....... } ; donc le plus petit entier n tel que u_n ≥ 1000 est : n = 32 .
Vérification :
Pour n = 31 , on a : 31² + 31 + 2 = 994 < 1000 ; et pour n = 32 , on a : 32² + 32 + 2 = 1024 + 34 = 1058 > 1000 .
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2)
u_n ≥ 1000 ;
donc : n² + n + 2 ≥ 1000 ;
donc : n² + n - 998 ≥ 0 .
Résolvons l'équation : x² + x - 998 = 0 ;
donc : Δ = 1 + 4 * 998 = 1 + 3992 = 3993 ;
donc : x1 = (- 1 + √3993)/2 ≈ 31,10 et x2 = (- 1 - √3993)/2 ≈ - 32,10 ;
donc on a : n² + n - 998 ≥ 0 pour n ≥ 31,10 ;
donc n ∈ {32 ; 33 ; ....... } ;
donc le plus petit entier n tel que u_n ≥ 1000 est : n = 32 .
Vérification :
Pour n = 31 , on a : 31² + 31 + 2 = 994 < 1000 ;
et pour n = 32 , on a : 32² + 32 + 2 = 1024 + 34 = 1058 > 1000 .