Réponse :

Bonsoir

Explications étape par étape

a) si n est impair,on peut l'écrire sous la forme n = 2k + 1 (avec k entier)

donc n² - 1 = (2k +1)² - 1 = 2k² + 4k + 1 - 1 = 4k² + 4k = 4k(k+1)

k et k+1 sont consécutifs,l'un des deux est donc pair, et leur produit est donc pair. Donc k(k + 1) s'écrit sous la forme 2k'(avec k' = k(k+1) entier)

donc n² - 1 = 4k(k + 1) = 4× 2k' = 8 k'

donc 8 divise n² - 1 lorsque n est impair

b) 3^n sera toujours un nombre impair (son dernier chiffre est toujours 1, 3 , 7 ou 9)

donc 1 + 3^n est toujours pair

c) 2^n + 2^(n+1) = 2^n + 2×2^n = 2^n ×(1 + 2) = 3 × 2^n

donc 2^n + 2^(n+1) est divisible par 3