Bonjour je dois faire un DM de niveau terminale S, mais c'est trop compliqué je n'y arrive pas pouvez vous m'aidez pour finir le DM à partir de la question 3 de la partie A merci !
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z-2 =0 ou z² +2z +4 =0 delta = 4 -16 = -12 = 12i² = ( 2√3 i)²
les solutions sont z=2 z = ( -2 + 2√3 i)/2 = -1 + √3 i = 2j
z = -1 -√3i = 2 j²
la partie C
donc on ca poser b = ∛a pour faire simple et on sait que b³ =a
il faut prouver que z³ -a =(z -b)(z -jb)(z -j²b)
(z -jb)(z-j²b) = z² -j²bz - jbz +j³b² = z² -(j²+j)bz +1b² car j³=1
= z² -(-1)bz + b² = z² + bz + b² car j²+j = -1
maintenant (z-b)(z² +bz +b²)=z³ +bz² +b²z-bz²-b²z-b³ = z³ - a ce qui démontre le 1)
2) il y a un produit de 3 facteurs donc un produit de facteurs est nul si l'un des facteurs est nul
3 solutions z = ∛a z =j∛a z =j² ∛a
3)il suffit de remplacer a
z³ -27 a = 27 et ∛a = 3
solutions : 3 ; 3j ;3j²
z³ +1 a = -1 et ∛a = -1
solutions : -1 ; -j ; -j²
z³ -250 a = 250= 2*125 et ∛a = ∛250
solutions : ∛250 = 5 ∛2 ; ∛250 j ; j²∛250