Réponse :

1) calculer la longueur EH

AEH triangle rectangle en H, donc d'après le th.Pythagore

on a; EH² = AE² - AH² = 1 - (1/2)² = 1 - 1/4 = 3/4

        donc  EH = √(3/4) = (√3)/2

2) a) montrer que le repère (A ; vec(AB) ; vec(AD)) est orthonormé

       puisque ABCD est un carré  donc vec(AB) et vec(AD) sont orthogonaux  et  ||vec(AB)|| = ||vec(AD)||

    b) préciser les coordonnées de tous les points

           A(0 ; 0)

           B(1 ; 0)

           C(1 ; 1)

            D(0 ; 1)

            E(1/2 ; √3/2)

            F((2+√3)/2 ; 1/2)

            H(1/2 ; 0)

     c) en déduire que les points D ; E et F sont alignés

         pour cela il montrer que les vecteurs DE et EF sont colinéaires

         ssi  x'y - y'x = 0  

           vec(DE) = (1/2 ; (√(3) -2)/2)

            vec(EF) = ((2+√3)/2 - 1/2 ; 1/2 - (√3/2)) = ((1+√3)/2 ; (1 - √3)/2)

   ⇔ (1+√3)/2*(√(3) - 2)/2 - (1 - √3)/2*(1/2)

       = (√3 - 2 + 3 - 2√3)/4  -  (1 - √3)/4 = (1 - √3)/4  - (1 - √3)/4 = 0

donc les vecteurs DE et EF sont colinéaires, donc on en déduit que les points D , E et F sont alignés        

Explications étape par étape