Réponse :

Explications étape par étape

Bonjour

On cherche à trouver 2 nombres dont la somme est 20 et le produit 96.

A) une première solution :

On note x et y les deux nombres cherchés, x étant supérieur ou égal à y :

1) traduire algébriquement le problème :

x + y = 20

xy = 96

2) développer et réduire (x + y)^2 - (x - y)^2 :

= x^2 + 2xy + y^2 - (x^2 - 2xy + y^2)

= x^2 - x^2 + 2xy + 2xy + y^2 - y^2

= 4xy

3) en déduire (x - y)^2 puis (x - y) justifie :

(x + y)^2 - (x - y)^2 = 4 * 96

(x - y)^2 = (x + y)^2 - 384

(x - y)^2 = 20^2 - 384

(x - y)^2 = 400 - 384

(x - y)^2 = 16

(x - y) = 4

4) en déduire (x + y) + (x - y) puis x et y :

(x + y) + (x - y) = 20 + 4

(x + y) + (x - y) = 24

x + x + y - y = 24

2x = 24

x = 24/2

x = 12

x + y = 20

y = 20 - x

y = 20 - 12

y = 8

B) une solution à la manière de Diophante :

1) si les 2 nombres étaient égaux et de somme 20, quels seraient ces 2 nombres :

2x = 20

x = 20/2

x = 10

Ce serait : 10

Est ce une solution du problème posé :

10 + 10 = 20

10 * 10 = 100

Donc non

2) les 2 nombres n’étant pas égaux on s’intéresse à leur écart à avec 10. On écrit alors le plus grand des deux nombres donc x sous la forme x = 10 + a

a) exprimer y en fonction de a :

x + y = 20

10 + a + y = 20

y = 20 - 10 - a

y = 10 - a

b) exprimer le produit xy en fonction de a :

xy = (10 + a)(10 - a)

xy = 100 - a^2

c) en déduire l’équation dont a est solution puis la valeur de a :

100 - a^2 = 96

a^2 = 100 - 96

a^2 = 4

a = 2

d) en déduire x et y. Vérifier ce résultat :

x = 10 + a

x = 10 + 2

x = 12

y = 10 - a

y = 10 - 2

y = 8