1) lim(x²-2x+1,-∞)=lim(x²,-∞)=+∞ lim(e^(-2x),-∞)=+∞ donc par produit : lim(f(x),-∞)=+∞
2) f(x)=1/2x²e^(-2x)-xe^(-2x)+1/2e^(-2x) or lim(x^n.e^(-x),+∞)=0 donc par somme : lim(f(x),+∞)=0 donc l'axe des abscisses est asymptote à Cf au voisinage de +∞
3) f'(x)=(x-1)e^(-2x)-(x²-2x+1)e^(-2x) =e^(-2x)(-x²+3x-2) f'(x)=0 implique -x²+3x-2=0 soit x=1 ou x=2 f'(x)>0 implique -x²+3x-2>0 soit 1<x<2 donc f est décroissante sur ]-∞;1] et sur [2;+∞[ f est croissante sur [1;2]
4) F(x)=1/2(ax²+bx+c)e^(-2x) F'(x)=1/2((2ax+b)e^(-2x)-2(ax²+bx+c)e^(-2x)) =1/2e^(-2x)(-2ax²+(2a-2b)x+b-2c) F'(x)=f(x) donc -2a=1 ; 2a-2b=-2 ; b-2c=1 donc a=-1/2 ; b=1/2 ; c=-1/4 donc F(x)=1/2(-1/2x²+1/2x-1/4)e^(-2x)
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F(x)=1/2(x²-2x+1)e^(-2x)1) lim(x²-2x+1,-∞)=lim(x²,-∞)=+∞
lim(e^(-2x),-∞)=+∞ donc par produit : lim(f(x),-∞)=+∞
2) f(x)=1/2x²e^(-2x)-xe^(-2x)+1/2e^(-2x)
or lim(x^n.e^(-x),+∞)=0 donc par somme : lim(f(x),+∞)=0
donc l'axe des abscisses est asymptote à Cf au voisinage de +∞
3) f'(x)=(x-1)e^(-2x)-(x²-2x+1)e^(-2x)
=e^(-2x)(-x²+3x-2)
f'(x)=0 implique -x²+3x-2=0 soit x=1 ou x=2
f'(x)>0 implique -x²+3x-2>0 soit 1<x<2
donc f est décroissante sur ]-∞;1] et sur [2;+∞[
f est croissante sur [1;2]
4) F(x)=1/2(ax²+bx+c)e^(-2x)
F'(x)=1/2((2ax+b)e^(-2x)-2(ax²+bx+c)e^(-2x))
=1/2e^(-2x)(-2ax²+(2a-2b)x+b-2c)
F'(x)=f(x) donc -2a=1 ; 2a-2b=-2 ; b-2c=1
donc a=-1/2 ; b=1/2 ; c=-1/4
donc F(x)=1/2(-1/2x²+1/2x-1/4)e^(-2x)
5) I=F(5)-F(0)=1/2(-25/2+5/2-1/4)e^(-10)-1/2