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Réponse :

Bonjour

Explications étape par étape

Exo 4 :

Partie A :

1)

g(x)=exp(x)+x-2

g '(x)=exp(x)+1

exp(x)+1 est toujours > 0 car somme de 2 termes srictement positifs.

Donc g(x) croissante sur [-1;3]

2)

g(-1)=exp(-1)-3≈ -2.63

g(3)=exp(3)+1 ≈ 21.09

Sur [-1;3] , la fct g(x) est continue et srtictement croissante , passant d'une valeur négative pour x=-1 à une valeur positive pour x=3. Donc d'après le TVI, il existe sur cet intervalle  un unique réel α tel que g(α)=0.

g(0)=-1

g(1)=exp(1)-1 ≈ 1.71

Donc 0 < α < 1

g(0.4) ≈ -0.1082

g(0.5) ≈ 0.14872

g(0.44) ≈-0.0073

g(45) ≈ 0.1831

Donc :

α < 0.44

Partie B :

a)

f(x)=6exp(x)+x³-6x²+10

f '(x)=6exp(x)+3x²-12x

f "(x)=6exp(x)+6x-12

f "(x)=6[exp(x)+x-2]

f "(x)=6*g(x)

Je ne trouve pas f "(x)=16*g(x) !!

b)

f "(x) est donc du signe de g(x) .

D'après a) :

x-------->-1.........................α........................3

f "(x)----->................-.........0...............+...........

La fct f(x)  est donc concave sur [-1;α] et convexe sur [α;3]

c)

La concentration donnée par f(x) augmente toujours sur [-1;3]  mais la croissance , elle , s'accélère lorsque la fct est convexe donc sur [α;3] .

Comme α ≈ 0.44  et que | -1|+0.44=1.44 , on peut dire que la bactérie devient active au bout de 144 heures .