Explications étape par étape:

Salut,

1- Il s'agit ici de la factorisation du trinôme a(p), le plus simple étant de raisonner à l'envers, et développer. Pour tout p €]0;1[ :

a(p) = (1/5)*p + (1/2) - (1/5)*p^2 - (1/2)p

= (-1/5)*p^2 - (3/10)p + (1/2).

2- A et B sont indépendants si et seulement si P(A inter B) = P(A) * P(B) = p * P(B) = p^2, ce qui équivaut à p(B) = p.

Cela entraîne aussi que A barre et B sont indépendants, donc que P(A barre inter B) = P(A barre) * P(B) = (1 - P(A)) * P(B) = (1 - p) * p

3- Cet événement est réalisé si et seulement si a(p) = (1 - p) * p, d'où (1-p) * ( (1/5)p + (1/2)) = (1 - p) * p donc (1-p) * [ (-4/5)p + (1/2)] = 0.

Donc p = 1 ce qui est absurde, ou alors, (-4/5)p + (1/2) = 0 ce qui équivaut à (4/5)p = (1/2) d'où p = (5/4) * (1/2) = 5/8.